[Евгений Машеров]

В чисто математическом плане задача сведения набора парных сравнений к единому рейтингу почти тривиальна (в вычислительном - уже не столь тривиальна, но основные трудности тут вне математики).
Если A(i,j) это сравнение силы i-того и j-того игроков (скажем, как соотношение числа их и поражений, или же набранных очков и т.п.), а X(j) это "правильный" рейтинг j-того игрока, то естественно ожидать, что, если просуммировать рейтинги всех игроков, с которыми сыграл данный, умноженные на этот, отражающий во сколько раз i-тый игрок сильнее j-того, то получим правильный рейтинг i-того, возможно, умноженный на какую-то константу (содержательно это означает, что за победу над сильным игроком надо давать больше, чем над слабым, и даже умеренный проигрыш "гроссу" может больше указывать на силу игрока, чем его триумф над новичком).
Формально это можно записать, как
Ax=lx, где А - матрица сравнений игроков, х - вектор их рейтингов, l - постоянная величина, то есть это задача на собственные значения матрицы А (можно показать, что искомая наша величина соответствует максимальному собственному значению l).
По теореме Фробениуса-Перрона, если матрица А имеет неотрицательные значения (в данном случае её элементы - "относительные силы" игроков и A(i,j)=1/A(j,i), а для игроков, которые меж собой не встречались - пишем 0; на диагонали, то есть сравнивая с самими собою, пишем 1, впрочем, это несущественно) и неразложима (то есть, даже если два игрока i,j не встречались, можно выстроить цепочку из игроков от i-того до j-того так, чтобы соседи по цепочке меж собой играли; понятно, что если игроки распадаются на два подмножества так, что игроки из одного никогда не играли со вторым, то единого рейтинга быть не может) - существует вектор х с положительными элементами, который и будет искомым рейтингом.
Хотя матрица велика, а сложность задачи кубична, так что для такой размерности используют суперкомпьютеры, нам нужен только один вектор, и для него есть простой и достаточно быстрый метод (степенной).
Проблема в том, чтобы набрать все эти сравнения (а для начала - как оценить сравнение? Как вариант - отношением сумм набраных очков, но что делать, если кто-то в нуле или в минусе?)
Но если кто-то соберёт такой материал - то, зная матрицу А, сам рейтинг можно будет получить легко.